完整的微分方程第一堂課

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大學水準的微分方程入門課程

從這 29.5 小時的課程，你會學到

根據類型( type ) 和階數( order )對微分方程進行分類。
解一階微分方程，他們是可分離( separable )、線性( linear )、齊次( homogeneous )、正合型( exact )，以及可用不同的替換解法的其他類型。
使用一階微分方程模擬來自科學的不同應用。
使用未定係數法、參數變化法和拉普拉斯( Laplace )變換法解具有常係數（齊次和非齊次）的線性二階方程。
理解線性二階微分方程的理論及其與線性代數思維的關係。
使用具有常係數（齊次和非齊次）的線性二階方程來模擬科學的應用。
查找拉普拉斯( Laplace )和反拉式轉換 ( inverse Laplace transforms )。
使用拉普拉斯變換( Laplace transforms )解常係數的線性二階方程，其中包含強制函數，如脈衝、階梯函數 ( step functions ) 和週期函數 (periodic functions )。
解常係數的線性微分方程組並了解用於求解的特徵值 ( eigenvalues ) 和特徵向量(eigenvectors )的重要性。
理解矩陣指數( the Matrix exponential )的重要性以及如何計算它以便找到微分方程線性系統的解。
應用基本的數值(numerical )方法尋找微分方程的近似解。
理解一些複雜分析的基礎知識及其對微分方程的有用性。
使用平衡點 ( equilibrium points )、相平面圖 ( phase plane )和穩定性分析來分析線性系統。
使用 Maple 解析和數值解微分方程。使用 Maple 定性研究微分方程。
用微分方程塑造現實世界現象。
查找具有可變係數的二階線性方程的級數解( series solutions )。將此方法應用於普通點( ordinary points )和常規奇點 ( regular singular points )。使用 Frobenius 的方法找到Frobenius 級數解( series solutions )。利用降階法( reduction of order )以找到級數解( series solutions )。
使用傅立葉級數( Fourier series )來解偏微分方程( partial differential equations，PDEs )。使用變數和傅立葉級數的分離來解熱、波和拉普拉斯方程。理解一般傅立葉級數、正弦(Sine)傅立葉級數、餘弦( Cosine )傅立葉級數和傅立葉級數收斂( convergence )的理論和應用。解非齊次(inhomogeneous )的偏微分方程( PDEs)。
使用向量空間理論，函數和內積( inner products )的正交性( orthogonality )，自伴隨運算子( self adjoint operators )，並應用於 Sturm-Liouville 特徵值問題。使用特徵函數(eigen function )展開來解決非齊次( nonhomogenous )問題。
通過尋找平衡點和穩定性分析非線性自主系統( nonlinear autonomous system )。理解線性化的概念和 Hartman-Grobman 定理。查找並分析 Hopf 分岔以及其他眾所周知的分岔。
應用數值方法並了解穩定性和準確性的重要性。能夠在 Maple 中實現。能夠使用最先進的微分方程 (DE，Differential Equations ) 求解器。