完整的微分方程第一堂課

大學水準的微分方程入門課程

從這 29.5 小時的課程,你會學到

  • 根據類型( type ) 和階數( order )對微分方程進行分類。
  • 解一階微分方程, 他們是可分離( separable )、線性( linear )、齊次( homogeneous )、正合型( exact ),以及可用不同的替換解法的其他類型。
  • 使用一階微分方程模擬來自科學的不同應用。
  • 使用未定係數法、參數變化法和拉普拉斯( Laplace )變換法解具有常係數(齊次和非齊次)的線性二階方程。
  • 理解線性二階微分方程的理論及其與線性代數思維的關係。
  • 使用具有常係數(齊次和非齊次)的線性二階方程來模擬科學的應用。
  • 查找拉普拉斯( Laplace )和反拉式轉換 ( inverse  Laplace transforms )。
  • 使用拉普拉斯變換( Laplace transforms )解常係數的線性二階方程,其中包含強制函數,如脈衝、階梯函數 ( step functions ) 和週期函數  (periodic functions )。
  • 解常係數的線性微分方程組並了解用於求解的特徵值 ( eigenvalues ) 和特徵向量(eigenvectors )的重要性。
  • 理解矩陣指數( the Matrix exponential )的重要性以及如何計算它以便找到微分方程線性系統的解。
  • 應用基本的數值(numerical )方法尋找微分方程的近似解。
  • 理解一些複雜分析的基礎知識及其對微分方程的有用性。
  • 使用平衡點 ( equilibrium points )、相平面圖 ( phase plane )和穩定性分析來分析線性系統。
  • 使用 Maple 解析和數值解微分方程。 使用 Maple 定性研究微分方程。
  • 用微分方程塑造現實世界現象。
  • 查找具有可變係數的二階線性方程的級數解( series solutions )。 將此方法應用於普通點( ordinary points )和常規奇點 ( regular singular points )。 使用 Frobenius 的方法找到Frobenius 級數解( series solutions )。利用降階法( reduction of order )以找到級數解( series solutions )。
  • 使用傅立葉級數( Fourier series )來解偏微分方程( partial differential equations,PDEs )。 使用變數和傅立葉級數的分離來解熱、波和拉普拉斯方程。 理解一般傅立葉級數、正弦(Sine)傅立葉級數、餘弦( Cosine )傅立葉級數和傅立葉級數收斂( convergence )的理論和應用。 解非齊次(inhomogeneous )的偏微分方程( PDEs)。
  • 使用向量空間理論,函數和內積( inner products )的正交性( orthogonality ),自伴隨運算子( self adjoint operators  ),並應用於 Sturm-Liouville 特徵值問題。 使用特徵函數(eigen function )展開來解決非齊次( nonhomogenous )問題。
  • 通過尋找平衡點和穩定性分析非線性自主系統( nonlinear autonomous system )。 理解線性化的概念和 Hartman-Grobman 定理。 查找並分析 Hopf 分岔以及其他眾所周知的分岔。
  • 應用數值方法並了解穩定性和準確性的重要性。 能夠在 Maple 中實現。 能夠使用最先進的微分方程 (DE,Differential Equations ) 求解器。

要求

第一年微分和積分基礎

課程說明

本課程將教授通常在大學/學院課程前兩學期微分方程教的所有內容。 我們將在本課程中談到的主題是

  1. 一階微分方程
  2. 高階線性方程組
  3. 拉普拉斯變換方法
  4. 線性微分方程組
  5. 冪級數解法 (Power Series Method)
  6. 偏微分方程
  7. 傅立葉級數
  8. Sturm Liouville 特徵值問題
  9. 非線性微分方程組
  10. 數值方法

目標受眾

  • 在學院或大學學習微分方程的學生
  • 準備在學院或大學學習微分方程的學生
  • 任何想學習微分方程的人

講師簡介

Chris Levy   PhD 應用數學

我的名字是 Chris Levy,並且我有 Dalhousie University 的應用數學博士學位。 我住在加拿大 Nova Scotia 省的 Halifax。

我是研究員,大學講師,還有一位新興的數據科學家。 我有教授大學課程的經驗,如微積分,微分方程和商業數學。 我已經為35名學生,70名學生,甚至300名學生教授課程。

我也有數百名數學學生的輔導經驗。 我知道如何清晰和簡潔地解釋概念。 我一直是一個非常成功的學生和導師。 我知道取得成功需要什麼。

我喜歡和我的妻子和三個孩子一起出去玩,彈吉他,玩體育和學習。

英文字幕:有

  • 想要了解如何將英文字幕自動翻譯成中文? 請參考這篇 How-To

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