線性代數和幾何 2

更多關於矩陣的內容；抽象向量空間及其基底；使用 MANIM 進行線性變換動畫

從這 47 小時的課程，你會學到

如何解決線性代數和幾何中的問題（以 153 個已解決的問題為例）以及這些方法為何有效。
有關向量空間的重要概念，例如基底、維數、座標和子空間。
各種向量空間中的線性組合、線性相關性和獨立性，以及如何在 R^2 和 R^3 中以幾何方式解釋它們。
如何借助轉移矩陣和求解方程組來重新計算從一種基礎到另一種基礎的座標。
矩陣的行空間、列空間和零空間，以及如何使用這些概念來解決各種類型的問題。
線性變換：看待它們的不同方式（作為矩陣變換，作為保留線性組合的變換）。
如何組成線性變換以及如何計算不同基數的標準矩陣；計算用於變換的內核和圖像。
理解矩陣和線性變換之間的聯繫，並根據這種聯繫看到各種概念。
使用 R^2 和 R^3 中的各種幾何變換，能夠計算它們的矩陣並解釋這些變換的工作原理。
了解等距的概念並能夠給出一些例子，並闡明它們與正交矩陣的連結。
藉助 Gram-Schmidt Process 將 R^n 子空間的任何給定基底轉換為相同子空間的正交基底( orthonormal basis )。
計算給定矩陣的特徵值、特徵向量和特徵空間，並給出這些概念的幾何解釋。
判斷給定矩陣是否可對角化，如果是，則對其進行對角化。
了解矩陣的可對角化性和特徵空間維數之間的關係。
使用對角化來解決涉及計算方陣冪( the powers of square matrices )的問題，並解釋為何該方法有效。
能夠制定和使用可逆矩陣定理，並識別適合行列式檢定的情況（以及不適合的情況）。
使用Wronskian判斷一組平滑函數是否線性無關；能夠計算范德蒙行列式( Vandermonde determinant )。
使用各種向量空間，例如 R^n、所有 n×m 矩陣的空間、多項式空間、平滑函數( smooth functions )空間。

要求

線性代數和幾何1（方程組、矩陣和行列式、向量及其乘積、直線和平面的解析幾何）
高中和大學數學（主要是算術，一些三角函數，多項式）
一些基本的微積分（在一些範例中使用，可以省略，不會對您的線性代數學習產生任何負面影響，並在您學習微積分後重新審視：影片38、39、40、132、134、136中需要一些簡單的導數；影片 16, 35–40 中提到了連續函數）
複數的基礎知識（影片 8 中的範例中使用）
隨時歡迎您提出問題。如果講座中有不清楚的地方，請詢問。最好是使用QA，這樣所有其他學生都可以看到我對不清楚的主題的補充解釋。請記住：您永遠不會孤單地有疑問，如果您在論壇上提出問題，這對每個人都有好處。

課程說明

線性代數和幾何2

更多關於數組的內容；抽象向量空間及其基底

第一章：抽象向量空間及相關內容

S1. 課程簡介

S2. 實向量空間及其子空間

您將學習：向量空間的定義以及圍繞公理的推理方式；確定向量空間的子集是否為子空間。

S3. 線性組合和線性獨立

您將學習：線性組合和跨度、線性相關集和獨立集的概念；應用高斯消去法判斷集合是否線性無關；線性相關性和線性獨立性的幾何解釋。

S4. 座標、基礎和尺寸

您將學習：向量空間基底的概念、給定基底的座標以及向量空間的維數；您將學習如何應用行列式檢定來確定一組 n 個向量是否為 R^n 的基底。

S5. 基礎變更

您將學習：如何透過求解線性方程組、使用過渡矩陣以及使用高斯消去法來重新計算基底之間的座標；不同座標系背後的幾何形狀。

S6. 矩陣的行空間、列空間與零空間

您將學習：行空間和列空間的概念，以及矩陣的零空間；在不同的基底條件下找到 R^n 中多個向量跨距的基底。

S7. 秩( Rank )、零度( nullity )和四個基本矩陣空間

您將學習：確定矩陣的秩和無效性；找到給定子空間的正交補集( orthogonal complement )；四個基本矩陣空間以及它們之間的關係。

第 2 章：線性變換

S8. 從 R^n 到 R^m 的矩陣變換

您將學習：關於矩陣變換：了解用矩陣辨識線性變換的方法（產生給定變換的標準矩陣，並產生給定矩陣的變換）；概念：核心、圖像和逆算子( inverse operators )；理解它們與零空間、列空間和逆矩陣之間的連結。

S9. R^2 和 R^3 矩陣變換的幾何

您將學習：關於旋轉、對稱、投影及其矩陣等變換；您將學習如何說明平面中線性變換的作用。

S10. 矩陣變換的性質

您將了解：線性變換下子空間和仿射空間（點、線和平面）會發生什麼；面積和體積會發生什麼變化？線性變換的組合作為矩陣乘法。

S11. 不同基數下的一般線性變換

您將學習：解決涉及兩個向量空間之間線性變換的問題；處理不同基數的線性變換。

第 3 章：正交性

S12. 格拉姆-施密特過程( Gram-Schmidt Process )

您將了解：關於正交基底及其相對於其他基底的優越性；關於子空間到 R^n 的正交投影；借助 Gram-Schmidt 過程為給定的 R^n 子空間產生標準正交基底。

S13. 正交矩陣

您將學習：正交矩陣的定義和性質；他們的幾何解釋。

第 4 章：矩陣特徵分解簡介

S14. 特徵值和特徵向量

您將學習：計算具有實數項的方陣的特徵值和特徵向量；特徵向量和特徵空間的幾何解釋。

S15. 對角化

您將學習：確定給定矩陣是否可對角化；對角化矩陣並應用對角化來解決問題（矩陣的冪）。

S16. 線性代數與幾何總結 2

您將學習：關於第三門課程的內容。

S17. 附加功能

您將了解：我們提供的所有課程。您還將了解我們未來課程的計劃，以及大致（非常假設！）的發布日期。

請務必與教授核實期末考試需要課程的哪些部分。這些事情因國家、因大學而異，甚至同一所大學每年都不同。

資源文件中提供了課程內容的詳細描述，包括所有 214 個影片及其標題，以及本課程解決的所有 153 個問題的文本

“001 List_of_all_Videos_and_Problems_Linear_Algebra_and_Geometry_2.pdf”

影片 1（「課程簡介」）下。此內容也在影片 1 中介紹。

目標受眾

大學和學院工程系學生

講師簡介

Hania Uscka-Wehlou 大學數學教師，博士

我是一位多語種數學家，對數學教育充滿熱情。我總是試圖為數學概念和理論找到最簡單的可能解釋，盡可能使用插圖，並使用幾何動機。

我曾在瑞典的烏普薩拉大學（Uppsala University，2017 年 8 月至 2019 年 8 月）和梅拉達倫大學（Mälardalen University，2019 年 8 月至 2021 年 5 月）擔任數學高級講師，但我終止了我的永久性工作，以便能夠為 Udemy 創建完整的課程- 時間。

我最初來自波蘭，在那裡我學習了理論數學，並在托倫的哥白尼大學( Copernicus University )獲得了教學資格（1992-1997）。在此之前，我在托倫高中“Liceum IV”的數學課上享受了非常嚴格的數學教育，這為我以後所學和教授的一切打下了非常堅實的基礎。

我的博士論文（2009 年）是在瑞典烏普薩拉大學完成的，題目是：“Digital Lines, Sturmian Words, and Continued Fractions”。

2018 年，我獲得了烏普薩拉大學科學技術學院學生頒發的四項教學獎：5 月 13 日，工程物理碩士課程的學生； 5 月 25 日，來自電機工程碩士課程的學生； 12 月 20 日，來自化學工程碩士課程的學生； 2019 年 1 月 10 日來自 UTN（烏普薩拉大學烏普薩拉工程與科學學生聯合會）。

我會說波蘭語、瑞典語、英語、荷蘭語和一些俄語；學習烏克蘭語。

Martin Wehlou MITM AB 編輯

我有醫學和軟體開發方面的背景。我已經完成了足夠的數學學習，至少可以跟上 Hania 的課程，並且在編輯材料時我學到了很多東西。我還寫了一本關於醫療軟體設計的書，因為它與醫療記錄有關（“重新思考電子醫療記錄” Rethinking the electronic healthcare record）。對於 Hania 的數學課程，我的工作是設置環境並生成用於這些課程的最終輸出。