線性代數與幾何 1

Contents

方程、矩陣、向量和幾何系統

從這 46 小時的課程，你會學到

如何解決線性代數和幾何問題（以 175 個已解決的問題為例）以及這些方法為何有效。
借助 Gauss-Jordan 或高斯消去法( Gaussian elimination )求解線性方程組，後者後跟回代( back-substitution )。
通過分析線性方程組( linear equations )的 RREF 矩陣（與系統的增廣矩陣等效的行）來解釋線性方程組的幾何解集。
矩陣運算（Matrix operations : 加法、縮放、乘法）、它們的定義方式、應用方式以及它們適用的計算規則。
Matrix inverse：判斷一個矩陣是否可逆；計算它的逆：使用（Jacobi）演算法和顯式公式；矩陣方程。
行列式( Determinants )、它們的定義、屬性和計算它們的不同方法；行列式方程； n×n 方程組的 Cramer 規則。
向量( Vectors )，它們的坐標和範數；幾何向量和抽象向量，它們的加法和縮放：算術和幾何（2D 和 3D）。
向量積（Vector products : 縮放、點積、叉積、標量三重積）、它們的性質和應用；正交投影和向量分解。
3-空間( 3-space )中的解析幾何( Analytical geometry )：描述線和平面的不同方式，以及在解決問題中的應用。
通過使用正交投影和幾何推理計算 3 空間中點、平面和線之間的距離。
確定直線和平面是否平行，如果它們相交，則計算它們之間的角度（使用點積和方向或法向量）。
如何從幾何角度將 n×2 和 n×3 方程組及其解集解釋為 2D 直線或 3D 平面之間的交集。
理解線性方程組和矩陣乘法之間的聯繫。
可逆矩陣定理( Invertible Matrix Theorem )及其應用；在各種情況下應用行列式測試。

要求

高中數學，主要是算術，一些三角函數

課程說明

線性代數與幾何 1

方程、矩陣、向量和幾何系統

第1章線性方程組

S1。課程簡介

S2。一些基本概念

你將學習：本課程中將用到的一些基本概念。他們中的大多數是從高中的數學課程中了解到的，其中一些是新的；後者將出現在課程的後面，然後將進行更深入的處理。

S3。線性方程組；建立你的幾何直覺

你將學習：關於線性方程組和線性方程組的一些基本概念；線性方程組背後的幾何學。

S4。求解線性方程組；高斯消元法

你將學習：在具有唯一解的系統、不一致的系統和具有無限多解（參數解）的系統的情況下，使用高斯消去法（和反代入法）和 Gauss-Jordan 消去法( Gauss-Jordan elimination )求解線性方程組。

S5。在數學和自然科學中的一些應用

你將學習：線性方程組如何用於其他數學分支和自然科學。

第 2 章矩陣和行列式

S6. 矩陣和矩陣運算

你將學習：矩陣的定義及其算術運算（矩陣加法、矩陣減法、標量乘法、矩陣乘法）。不同種類的矩陣（方陣、三角矩陣、對角矩陣、零矩陣、單位矩陣）。

S7. 倒數; 矩陣的代數性質

你將學習：使用矩陣代數；矩陣逆( the inverse of a matrix )的定義。

S8. 初等矩陣和求 A 逆( Inverse )的方法

你將學習：如何使用 Gauss-Jordan 消去法（Jacobi 方法）計算矩陣的逆。

S9. 線性系統和矩陣

你將學習：關於線性方程組和矩陣乘法之間的聯繫。

S10. 行列式

你將學習：行列式的定義；應用行列式算術定律，特別是乘法性質和沿行或列的擴展；求解涉及行列式的方程；用於求解 n×n 線性方程組（Cramer 規則）的顯式公式，用於逆向非奇異矩陣的顯式公式。

第 3 章向量及他們的積

S11。 2 空間、3 空間和 n 空間中的向量

你將學習：應用並以圖形方式說明平面中向量的算術運算；對 R^n 中的向量應用算術運算。

S12. R^n 中的距離和範數( norm )

你將學習：計算 R^n 中的點與 R^n 中的向量範數之間的距離，歸一化向量( normalize vectors )。

S13. 點積( dot product )、正交性( orthogonality )和正交投影( orthogonal projections )

你將學習：點積的定義以及如何使用它來計算幾何向量之間的角度。

S14. 叉積( cross product )、平行四邊形( parallelograms )和平行六面體( parallelepipeds )

你將學習：叉積的定義以及將 3×3 行列式解釋為 3 空間中平行六面體的體積。

第4章線面解析幾何( Analytical Geometry )

S15. R^2 中的線

你將學習：描述平面中直線的幾種方法（斜截方程、截距形式、點向量方程、參數方程）以及如何計算給定上述方程之一的其他類型的方程。

S16. R^3 中的平面

你將學習：在 3 空間中描述平面的幾種方法（正規方程、截距形式、參數方程）以及如何計算給定上述方程之一的其他類型的方程。

S17. R^3 中的線

你將學習：描述 3 空間中直線的幾種方法（點向量方程、參數方程、標準方程）以及如何計算給定上述方程之一的其他類型的方程。

S18. 線性系統的幾何；線面重合

你將學習：確定直線和平面的方程式，以及如何使用這些方程式通過求解方程組來計算交點。

S19. 點、線、面之間的距離

你將學習：確定直線和平面的方程式以及如何使用這些方程式計算距離。

S20。關於下一門課程的一些話

你將學習：關於第二門課程的內容。

還要確保你與你的教授核實你的期末考試需要課程的哪些部分。這些事情因國家而異，因大學而異，甚至同一所大學每年都不同。

課程內容的詳細描述，包括所有 222 個視頻及其標題，以及本課程解決的所有 175 個問題的文本，在視頻 1（“課程簡介”）下的資源文件“Outline_Linear_Algebra_and_Geometry_1.pdf”中介紹。此內容也顯示在視頻 1 中。

目標受眾

大學和學院工程系學生

講師簡介

Hania Uscka-Wehlou 大學數學教師，博士

我是一位多語種數學家，對數學教育充滿熱情。我總是試圖為數學概念和理論找到最簡單的可能解釋，盡可能使用插圖，並使用幾何動機。

我曾在瑞典的烏普薩拉大學（Uppsala University，2017 年 8 月至 2019 年 8 月）和梅拉達倫大學（Mälardalen University，2019 年 8 月至 2021 年 5 月）擔任數學高級講師，但我終止了我的永久性工作，以便能夠為 Udemy 創建完整的課程- 時間。

我最初來自波蘭，在那裡我學習了理論數學，並在托倫的哥白尼大學( Copernicus University )獲得了教學資格（1992-1997）。在此之前，我在托倫高中“Liceum IV”的數學課上享受了非常嚴格的數學教育，這為我以後所學和教授的一切打下了非常堅實的基礎。

我的博士論文（2009 年）是在瑞典烏普薩拉大學完成的，題目是：“Digital Lines, Sturmian Words, and Continued Fractions”。

2018 年，我獲得了烏普薩拉大學科學技術學院學生頒發的四項教學獎：5 月 13 日，工程物理碩士課程的學生； 5 月 25 日，來自電機工程碩士課程的學生； 12 月 20 日，來自化學工程碩士課程的學生； 2019 年 1 月 10 日來自 UTN（烏普薩拉大學烏普薩拉工程與科學學生聯合會）。

我會說波蘭語、瑞典語、英語、荷蘭語和一些俄語；學習烏克蘭語。

Martin Wehlou MITM AB 編輯

我有醫學和軟體開發方面的背景。我已經完成了足夠的數學學習，至少可以跟上 Hania 的課程，並且在編輯材料時我學到了很多東西。我還寫了一本關於醫療軟體設計的書，因為它與醫療記錄有關（“重新思考電子醫療記錄” Rethinking the electronic healthcare record）。對於 Hania 的數學課程，我的工作是設置環境並生成用於這些課程的最終輸出。