Contents
方程、矩陣、向量和幾何系統
從這 46 小時的課程,你會學到
- 如何解決線性代數和幾何問題(以 175 個已解決的問題為例)以及這些方法為何有效。
- 借助 Gauss-Jordan 或高斯消去法( Gaussian elimination )求解線性方程組,後者後跟回代( back-substitution )。
- 通過分析線性方程組( linear equations )的 RREF 矩陣(與系統的增廣矩陣等效的行)來解釋線性方程組的幾何解集。
- 矩陣運算(Matrix operations : 加法、縮放、乘法)、它們的定義方式、應用方式以及它們適用的計算規則。
- Matrix inverse:判斷一個矩陣是否可逆; 計算它的逆:使用(Jacobi)演算法和顯式公式; 矩陣方程。
- 行列式( Determinants )、它們的定義、屬性和計算它們的不同方法; 行列式方程; n×n 方程組的 Cramer 規則。
- 向量( Vectors ),它們的坐標和範數; 幾何向量和抽象向量,它們的加法和縮放:算術和幾何(2D 和 3D)。
- 向量積(Vector products : 縮放、點積、叉積、標量三重積)、它們的性質和應用; 正交投影和向量分解。
- 3-空間( 3-space )中的解析幾何( Analytical geometry ):描述線和平面的不同方式,以及在解決問題中的應用。
- 通過使用正交投影和幾何推理計算 3 空間中點、平面和線之間的距離。
- 確定直線和平面是否平行,如果它們相交,則計算它們之間的角度(使用點積和方向或法向量)。
- 如何從幾何角度將 n×2 和 n×3 方程組及其解集解釋為 2D 直線或 3D 平面之間的交集。
- 理解線性方程組和矩陣乘法之間的聯繫。
- 可逆矩陣定理( Invertible Matrix Theorem )及其應用; 在各種情況下應用行列式測試。
要求
高中數學,主要是算術,一些三角函數
課程說明
線性代數與幾何 1
方程、矩陣、向量和幾何系統
第1章 線性方程組
S1。 課程簡介
S2。 一些基本概念
你將學習:本課程中將用到的一些基本概念。 他們中的大多數是從高中的數學課程中了解到的,其中一些是新的; 後者將出現在課程的後面,然後將進行更深入的處理。
S3。 線性方程組; 建立你的幾何直覺
你將學習: 關於線性方程組和線性方程組的一些基本概念; 線性方程組背後的幾何學。
S4。 求解線性方程組; 高斯消元法
你將學習:在具有唯一解的系統、不一致的系統和具有無限多解(參數解)的系統的情況下,使用高斯消去法(和反代入法)和 Gauss-Jordan 消去法( Gauss-Jordan elimination )求解線性方程組。
S5。 在數學和自然科學中的一些應用
你將學習:線性方程組如何用於其他數學分支和自然科學。
第 2 章 矩陣和行列式
S6. 矩陣和矩陣運算
你將學習:矩陣的定義及其算術運算(矩陣加法、矩陣減法、標量乘法、矩陣乘法)。 不同種類的矩陣(方陣、三角矩陣、對角矩陣、零矩陣、單位矩陣)。
S7. 倒數; 矩陣的代數性質
你將學習:使用矩陣代數; 矩陣逆( the inverse of a matrix )的定義。
S8. 初等矩陣和求 A 逆( Inverse )的方法
你將學習:如何使用 Gauss-Jordan 消去法(Jacobi 方法)計算矩陣的逆。
S9. 線性系統和矩陣
你將學習: 關於線性方程組和矩陣乘法之間的聯繫。
S10. 行列式
你將學習:行列式的定義; 應用行列式算術定律,特別是乘法性質和沿行或列的擴展; 求解涉及行列式的方程; 用於求解 n×n 線性方程組(Cramer 規則)的顯式公式,用於逆向非奇異矩陣的顯式公式。
第 3 章 向量及他們的積
S11。 2 空間、3 空間和 n 空間中的向量
你將學習:應用並以圖形方式說明平面中向量的算術運算; 對 R^n 中的向量應用算術運算。
S12. R^n 中的距離和範數( norm )
你將學習:計算 R^n 中的點與 R^n 中的向量範數之間的距離,歸一化向量( normalize vectors )。
S13. 點積( dot product )、正交性( orthogonality )和正交投影( orthogonal projections )
你將學習:點積的定義以及如何使用它來計算幾何向量之間的角度。
S14. 叉積( cross product )、平行四邊形( parallelograms )和平行六面體( parallelepipeds )
你將學習:叉積的定義以及將 3×3 行列式解釋為 3 空間中平行六面體的體積。
第4章 線面解析幾何( Analytical Geometry )
S15. R^2 中的線
你將學習:描述平面中直線的幾種方法(斜截方程、截距形式、點向量方程、參數方程)以及如何計算給定上述方程之一的其他類型的方程。
S16. R^3 中的平面
你將學習:在 3 空間中描述平面的幾種方法(正規方程、截距形式、參數方程)以及如何計算給定上述方程之一的其他類型的方程。
S17. R^3 中的線
你將學習:描述 3 空間中直線的幾種方法(點向量方程、參數方程、標準方程)以及如何計算給定上述方程之一的其他類型的方程。
S18. 線性系統的幾何; 線面重合
你將學習:確定直線和平面的方程式,以及如何使用這些方程式通過求解方程組來計算交點。
S19. 點、線、面之間的距離
你將學習:確定直線和平面的方程式以及如何使用這些方程式計算距離。
S20。 關於下一門課程的一些話
你將學習:關於第二門課程的內容。
還要確保你與你的教授核實你的期末考試需要課程的哪些部分。 這些事情因國家而異,因大學而異,甚至同一所大學每年都不同。
課程內容的詳細描述,包括所有 222 個視頻及其標題,以及本課程解決的所有 175 個問題的文本,在視頻 1(“課程簡介”)下的資源文件“Outline_Linear_Algebra_and_Geometry_1.pdf”中介紹。 此內容也顯示在視頻 1 中。
目標受眾
大學和學院工程系學生
講師簡介
Hania Uscka-Wehlou 大學數學教師,博士
我是一位多語種數學家,對數學教育充滿熱情。 我總是試圖為數學概念和理論找到最簡單的可能解釋,盡可能使用插圖,並使用幾何動機。
我曾在瑞典的烏普薩拉大學(Uppsala University,2017 年 8 月至 2019 年 8 月)和梅拉達倫大學(Mälardalen University,2019 年 8 月至 2021 年 5 月)擔任數學高級講師,但我終止了我的永久性工作,以便能夠為 Udemy 創建完整的課程- 時間。
我最初來自波蘭,在那裡我學習了理論數學,並在托倫的哥白尼大學( Copernicus University )獲得了教學資格(1992-1997)。 在此之前,我在托倫高中“Liceum IV”的數學課上享受了非常嚴格的數學教育,這為我以後所學和教授的一切打下了非常堅實的基礎。
我的博士論文(2009 年)是在瑞典烏普薩拉大學完成的,題目是:“Digital Lines, Sturmian Words, and Continued Fractions”。
2018 年,我獲得了烏普薩拉大學科學技術學院學生頒發的四項教學獎:5 月 13 日,工程物理碩士課程的學生; 5 月 25 日,來自電機工程碩士課程的學生; 12 月 20 日,來自化學工程碩士課程的學生; 2019 年 1 月 10 日來自 UTN(烏普薩拉大學烏普薩拉工程與科學學生聯合會)。
我會說波蘭語、瑞典語、英語、荷蘭語和一些俄語; 學習烏克蘭語。
Martin Wehlou MITM AB 編輯
我有醫學和軟體開發方面的背景。 我已經完成了足夠的數學學習,至少可以跟上 Hania 的課程,並且在編輯材料時我學到了很多東西。 我還寫了一本關於醫療軟體設計的書,因為它與醫療記錄有關(“重新思考電子醫療記錄” Rethinking the electronic healthcare record)。 對於 Hania 的數學課程,我的工作是設置環境並生成用於這些課程的最終輸出。
英文字幕:有
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