數學思維概論

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關於課程

學習如何數學家的思考方式 – 數千年來發展起來的強大認知過程。

數學思維與做數學功課不同 – 至少不是通常在我們的學校系統中呈現數學的樣子。學校數學通常側重於學習解決高度刻板問題的程序。專業數學家思考一種解決實際問題的方法，可以從日常世界、科學或數學本身中產生的問題。學校數學成功的關鍵是學會在範圍內思考。相較之下，數學思維的一個關鍵特徵是不受限的思考 – 在當今世界中需要的寶貴能力。本課程有助於培養這種至關重要的思維方式。

此課程適用人群:

這個為期十週的課程設計考慮了兩個特定的受眾。首先，想要為專業或一般生活目的開發或改進基於數學的分析思維的人。第二，高中畢業生在大學或大學考慮數學或數學相關專業，或者在大學或大學考慮主修數學或倚靠數學學科的一年級學生。為了實現這一目標，本課程的第一部分幾乎沒有傳統的數學內容，而是將重點放在數學所需的思維過程上。更多的數學例子被延遲到後段，當它們更容易被吸收時。

製作方

史丹佛大學 ( Stanford University )

Leland Stanford Junior University，通常被稱為 Stanford University 或 Stanford，是一所美國私立研究型大學，位於加州史丹佛，佔地8,180英畝（3,310公頃），位於美國加利福尼亞州帕洛阿爾托附近。

史丹佛培養了不少著名人士。其校友涵蓋30名富豪企業家及17名太空員，亦為培養最多美國國會成員的院校之一。史丹佛校友創辦了眾多著名的公司機構，如：谷歌、雅虎、惠普、耐克、昇陽電腦等，這些企業的資金合計相等於全球第十大經濟體系。共81名諾貝爾獎得主現或曾於該校學習或工作。(參考維基百科)

第 1 週

開始歡迎講座。它解釋了這門課程的內容。（附帶一個簡短的背景閱讀作業，在開始課程之前閱讀，以及一套關於集合理論的閱讀補充，供課程後期使用，均可下載PDF格式。）這個初級入學講座很重要，因為這門課程是可能不像你以前學過的任何數學課程 – 即使在某些地方它可能看起來像是一門數學課！之後，第 1 講為課程做好了基礎準備; 然後在第 2 講我們深入探討第一個主題。這可能看起來都很簡單，但成千上萬以前的學生發現他們很快跳過第 1 週在後面遇到了麻煩！( 警告 )。如果可能，組建或加入一個研究組並與他們討論一切。通過這種方式，觀看視訊講座的時間估計是機器基於視訊長度生成的。你應預期望會花更多時間充分理解講座內容。完成每週問題集（測驗格式）估計會花時間可能準確些，即使這只是個指導原則。不過你仍可能會發現自己花了很長時間。

第 2 週

在第 2 週，我們繼續討論用於數學的語言的形式化部分。到目前為止，你應該熟悉課程的基本結構：1. 觀看第 1 講並回答講課時的測驗; 解決相關作業單中的每個問題; 然後觀看作業的教學視訊。 2. 第 2 講重複序列。 3. 然後執行問題集，之後你可以查看問題集的教學。記住，觀看視訊講座的時間估計是機器基於視訊長度生成的。你應預期望會花更多時間充分理解講座內容。完成每週問題集（測驗格式）估計會花時間可能準確些，即使這只是個指導原則。不過你仍可能會發現自己花了很長時間。

第 3 週

本週我們繼續分析用於數學的語言。請記住，雖然我們所關注的語言部分在數學中具有特別的重要性，但我們的主要興趣在於分析過程本身：我們如何將日常生活中的概念形式化？因為主題變得更具挑戰性，從本週開始我們每週只有一個基本的講座週期（講座 – >作業 – >教學 – >問題集 – >教學）。如果你還沒有找到一個或多個人共同學習和討論，請嘗試這個這樣的循環週期。因為這些材料很容易被誤解。

第 4 週

本週我們完成了對語言的分析，建立語言設備，那是 19 世紀的數學家以此開發出無限的正式數學處理，從而最終使微積分在其發明三百年後屹立不搖。（你在這門課不懂微積分沒關係。）這一切都是關於精確與明確。（但只有在它能發揮的地方。我們正試圖擴展我們富有成效的靈活的人類語言和推理，而不是用規則來框住，取而代之！）

第 5 週

本週我們首先看一下數學證明，這是現代數學的基石。

第 6 週

本週我們簡要介紹一下數學證明

第 7 週

本週的主題是數學分支，稱為數論( Number Theory )。數論可以追溯到古希臘數學家，是數學中一個非常重要的學科，在數學、物理學和當今一些最重要的技術中產生了影響。然而，在本課程中，我們只考慮該主題的一些非常基本的部分，主要用於說明數學思維。

第 8 週

在最後一週的教學中，我們將看一下稱為實變( Real Analysis )的重要主題的起點，在那裡我們仔細研究實數系統並為微積分發展一個嚴格的基礎。這是我們從早期的語言分析中獲益的地方。大學數學專業一般認為實變( Real Analysis )非常困難，但在早期遇到的大多數問題都源於沒有事先進行過語言使用的研究，如我們在這所打的基礎。