抽象代數: 跟著數學魔術師學群論

Contents

抽象代數 ( Abstract Algebra ) 是一門關於群體理論( Theory of Groups )的漂亮課程 🙂

從這 9.5 小時的課程，你會學到

二元運算( Binary Operation )的定義
如何判斷一個運算是否是二元運算
如何確定一個二元運算是交換的( commutative )還是結合的( associative )
群體的定義
重要群的例子，如整數、有理數、實數、複數下的各種運算
一般線性群
特殊線性群
克萊因四元群( The Klein Four-Group )
整數 Modulo( 模除 ) n 的可加群( Additive Group )
在冪集( Powersets )上定義的群( Groups )
用分量乘法( componentwise multiplication )定義的群( Groups )
如何證明群( Group )中的恆等元( Identity Element )是唯一的
如何證明群中的逆元(inverse)是唯一的
如何證明群( Groups )的其他各種基本屬性( Fundamental Properties )
如何求群中元素的階( Order of an Element )
循環群( Cyclic Groups )的知識
如何求循環群( Cyclic Groups )的母元( Generators )
如何證明群是循環( cyclic )的而不是循環的
如何證明圍繞循環( cyclic )群的各種關鍵結果
對子群( Subgroups )的認識
不同子群( Subgroups )的例子
如何證明一個集合是子群( Subgroups )
如何證明圍繞子群( Subgroups )的各種關鍵結果
一個群( Group )的中心
循環( cyclic )群的直積( Direct Products )
如何用直積( Direct Products )構造有限循環群( Finite Cyclic Groups )
理解函數( Function )、域( Domain )和餘域( Codomain )的概念
Understand the Notions of Direct Image and Inverse Image 正象( Direct Image )與反象概念的理解
理解 Injective (單射，一對一)、Surjective(滿射，向上)和 Bijective(雙射}函數
如何證明函數是 Injective
如何證明函數是 Surjective
如何證明函數是 Bijective
理解對稱群( Symmetric Groups )
理解排列( Permutations )的循環( cycle )和陣列(兩行)符號
如何在陣列表示法( Array Notation )中乘置換( Multiply Permutations )
如何在對稱群( Symmetric Group )做循環相乘( Multiply Cycles )
理解關係的概念，包括自反關係( reflexive )、對稱( symmetric )關係和傳遞( transitive )關係
理解等價關係( Equivalence Relations )和等價類( Equivalence Classes )
理解等價類( Equivalence Classes )如何劃分一個集合
理解如何從頭證明陪集( Cosets )只是劃分群的等價類(是的，我知道哇!)
理解拉格蘭奇定理( Lagrange’s Theorem )及其證明
理解拉格蘭奇定理的所有最重要的結果和推論( Corollaries )
如何證明共軛性( Conjugacy )是一個等價關係( Equivalence Relation )
如何證明涉及共軛類別( Conjugacy Classes )的各種結果
理解並知道如何證明類方程( Class Equation )
理解類方程的關鍵結果
如何在不同情況下找到給定子群( Subgroup )的陪集( Cosets )
理解正規子群( Normal Subgroups )
如何證明子群是正規的( normal )
如何環繞正規子群證明的各種結果
如何找到正規子群( Normal Subgroups )
從數學上和直觀上理解群同態( Group Homomorphisms )
理解群同構( Group Isomorphisms )
如何證明圍繞同態( Homomorphisms )的幾個( 許許多多 )結果
理解商群( Quotient Groups )
如何求商群
如何證明牽涉到商群的幾個結果
如何證明第一個同構基本定理( Isomorphism Theorem )
如何證明第二個同構基本定理( Isomorphism Theorem )